Gamma 與 Beta 分布函式：GAMMA.DIST、BETA.DIST 與反函數怎麼用

外送平台的訂單平均每 2 分鐘進來一張，我想湊滿 3 張再開一鍋，那「最多等幾分鐘」大概是多少？另一個問題是，廣告頁進來 40 個人、6 個下單，轉換率 15%，但這個 15% 到底準不準？前者是 GAMMA.DIST 的主場，後者是 BETA.DIST 的主場，今天一次整理這兩組分布函式，加上 GAMMA 這個跟階乘有關的小函式。

坦白說，這兩組我在日常報表裡用得不算多，BETA.INV 因為能把轉換率講成一個範圍，會比 GAMMA.DIST 常拿出來用。常態分布在 常態分布函式 那篇講過，這篇的寫法沿用同一套，不重複。

怎麼選

GAMMADIST、GAMMAINV、BETADIST、BETAINV 是舊名，各有一節。

Gamma 函式本身

GAMMA

傳回 Gamma 函式的值，可以想成「連小數都能算的階乘」：整數 n 的結果是 (n − 1)!。

語法：=GAMMA(數字)

先手算：GAMMA(5) 就是 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。

你應該會得到 24。換成小數，=GAMMA(0.5) 是 1.7725，剛好是 √π；=GAMMA(4.5) 是 11.6317，手算是 3.5 × 2.5 × 1.5 × 0.5 × 1.7725 = 11.6317。

數學上的 Gamma 函數可延伸到部分負數，但 Sheets 的 GAMMA 對 0 和負數（包含 GAMMA(-1.5) 這種負的非整數）都回 #NUM!。Excel 不一樣：Excel 的 GAMMA 接受負的非整數（官方範例 GAMMA(-3.75) 約 0.268），只有 0 與負整數才回 #NUM!，跨軟體搬公式時要留意。GAMMA(101) 與 FACT(100) 仍是有限值；GAMMA(171)、FACT(170) 約為 7.25742E+306，是最後一個不溢位的整數，GAMMA(172)、FACT(171) 就會溢位。需要處理很大的乘積時，可考慮用 GAMMALN 的對數值，別先把它轉回會溢位的數字。

Gamma 分布

Gamma 分布有兩個參數：形狀 alpha 和尺度 beta。可以這樣想，每件事平均隔 beta 這麼久發生一次，alpha 就是「要等第幾件事」。所以平均等待時間是 alpha × beta，我們這邊 alpha = 3、beta = 2，平均等 6 分鐘。

有一個很容易搞錯的地方：Sheets 的 beta 是「尺度」（平均間隔），不是「速率」（每分鐘幾張）。如果你手上的數字是每分鐘 0.5 張，beta 要填 1 ÷ 0.5 = 2。

GAMMA.DIST

給一個等待時間，算 Gamma 分布在這個點的累積機率或密度。

語法：=GAMMA.DIST(x, alpha, beta, 累積)

• x：等待時間，不能是負數。
• alpha、beta：形狀與尺度，都要大於 0。
• 累積：TRUE 是「x 以內發生的機率」，FALSE 是機率密度。

結果是 0.7619。手算驗證：alpha 是整數時，累積機率等於 1 − e^(−x/β) × (1 + x/β + (x/β)²/2)，x/β = 4，所以是 1 − e^(−4) × (1 + 4 + 8) = 1 − 0.0183 × 13 = 0.7619。

超過 10 分鐘還沒湊滿的機率，用 1 減掉：

結果是 0.1247，大約八次有一次會等這麼久。

最後一個參數改成 FALSE 是密度，=GAMMA.DIST(6, 3, 2, FALSE) 是 0.1120，只用來畫曲線，不是機率。

alpha 填 1 的時候，Gamma 分布就是指數分布，=GAMMA.DIST(3, 1, 2, TRUE) 是 0.7769，跟 1 − e^(−1.5) 一樣。指數分布的函式放在 對數常態、指數與 Weibull 那篇。

GAMMA.INV

GAMMA.DIST 的反向：給累積機率，找出對應的 x。

語法：=GAMMA.INV(機率, alpha, beta)

結果是 10.6446 分鐘。備料的時候，我會抓「10 分鐘多一點」當作九成把握的上限。

中位數（一半的情況在這之內）是 =GAMMA.INV(0.5, 3, 2)，得到 5.3481，比平均的 6 小，因為 Gamma 分布右邊有條長尾巴，偶爾等得特別久會把平均拉高。

機率要在 0 到 1 之間，超出範圍會回 #NUM!。

GAMMADIST

GAMMA.DIST 的舊名，參數完全一樣。

語法：=GAMMADIST(x, alpha, beta, 累積)

結果同樣是 0.7619。

GAMMAINV

GAMMA.INV 的舊名。

語法：=GAMMAINV(機率, alpha, beta)

結果同樣是 10.6446。

Beta 分布

Beta 分布專門描述 0 到 1 之間的比例。兩個參數 alpha、beta 可以直接當成「成功次數 + 1」和「失敗次數 + 1」。廣告頁 40 個人進來，6 個下單、34 個沒下單，就是 alpha = 6 + 1 = 7、beta = 34 + 1 = 35。

這個「各加 1」代表一開始對轉換率完全沒有先入為主的看法（所有比例都一樣有可能），是我下的假設，不是函式規定的。平均 7 ÷ (7 + 35) = 0.1667，比直接算的 15% 稍微高一點，因為多加的那兩個 1 把結果往中間拉。

BETA.DIST

算 Beta 分布的累積機率或密度，可以選填下限與上限。

語法：=BETA.DIST(x, alpha, beta, 累積, [下限], [上限])

• x：要查的點，預設在 0 到 1 之間。
• 累積：TRUE 是 x 以下的累積機率，FALSE 是密度。
• 下限、上限：選填，預設 0 和 1。

Excel 的 BETA.DIST 要求「累積」必填；Sheets 省略時等於 TRUE，但為了兩邊都能用，建議一律寫上。

結果是 0.7390，也就是在這 40 個人的資料下，真實轉換率不超過 20% 的把握大約是 74%。反過來看高於 25% 的機率：

結果是 0.0830，大約 8%。老闆問「會不會其實有 25%」的時候，這個數字比一句「樣本太少」有用。

FALSE 是密度，=BETA.DIST(0.15, 7, 35, FALSE) 是 7.1404。密度可以大於 1，因為它是曲線的高度，不是機率，不要誤會成 714%。

選填的上下限可以把 Beta 分布搬到任意區間。專案工期最快 10 天、最慢 20 天，我想它偏快完成，用 alpha = 2、beta = 3（這組數字是假設的形狀，真實專案要自己調）：

結果是 0.5248。平均是 10 + 10 × 2 ÷ 5 = 14 天，所以 14 天以內完工的機率略過一半。x 超出下限到上限的範圍會回 #NUM!。

BETA.INV

BETA.DIST 的反向：給累積機率，找出對應的比例。拿來做「範圍」最方便，頭尾各留 2.5%，中間 95%：

語法：=BETA.INV(機率, alpha, beta, [下限], [上限])

下界 0.0715、上界 0.2917，所以這 40 個人的資料只能說「轉換率大概在 7% 到 29% 之間」，範圍很寬。中位數 =BETA.INV(0.5, 7, 35) 是 0.1614。

資料多了會怎樣？假設同一個廣告頁累積到 400 個人、60 個下單（一樣是 15%），alpha = 61、beta = 341，=BETA.INV(0.025, 61, 341) 是 0.1184，=BETA.INV(0.975, 61, 341) 是 0.1884。範圍縮到 12% 到 19%，同樣的 15%，人數多了才比較放心。

帶上下限的寫法：九成把握的完工天數是

結果是 16.7954 天，抓 17 天交期就有九成把握。

BETADIST

BETA.DIST 的舊名，只能算累積機率，沒有「累積」那個參數。

語法：=BETADIST(x, alpha, beta, [下限], [上限])

結果是 0.7390，等於 BETA.DIST(0.2, 7, 35, TRUE)。要密度的話只能改用新版。帶上下限一樣：=BETADIST(14, 2, 3, 10, 20) 是 0.5248。

BETAINV

BETA.INV 的舊名，參數一樣。

語法：=BETAINV(機率, alpha, beta, [下限], [上限])

結果是 0.2917。帶上下限的 =BETAINV(0.9, 2, 3, 10, 20) 同樣是 16.7954。

對照一下

兩組分布的參數名稱長得很像，選之前先看手上是什麼資料：

新舊名並存的情況，我寫新檔案都用有點的版本（GAMMA.DIST、BETA.INV），舊名遇到別人留下來的檔案再認得就好。

下次看到轉換率的時候，試著不要只寫一個 15%，把 BETA.INV 算出來的範圍一起放進去吧。