對數常態、指數與 Weibull 分布函式：訂單金額、來電間隔、設備壽命

訂單金額大多落在一百多元，偶爾冒出一張三百多的；客服電話一通接一通，下一通什麼時候來沒人知道；工廠的風扇用了一陣子就開始壞。這三種資料的形狀都不是鐘形，硬套常態分布會算歪，今天來整理剛好對應它們的三組函式：LOGNORM.DIST 和 LOGNORM.INV、EXPON.DIST、WEIBULL.DIST，連同各自的舊名。

我個人最常用的是指數分布，因為「平均幾分鐘一次」這種資料很常見，一個參數就夠了。對數常態拿來看訂單金額、薪水這類偏右的資料，Weibull 則是在算設備壽命的時候才會翻出來。常態分布的 NORM.DIST 在 常態分布函式 講過，Gamma 與 Beta 在 Gamma 與 Beta 分布，這篇都不重複。

怎麼選

舊名 LOGNORMDIST、LOGINV、EXPONDIST、WEIBULL 各有一節。

對數常態

對數常態的意思是「取完 LN 之後是常態分布」。所以丟進函式的 mean 和 standard_deviation，是 LN(資料) 的平均與標準差，不是原始金額的平均與標準差。這是最容易填錯的地方。

先放 10 張訂單的金額（元），A 欄是金額，B 欄是 LN 之後的值：

B2 填 =LN(A2) 往下拉到 B11，然後在 F2、F3 放：

F2 是 4.7374，F3 是 0.5389。原始金額的平均是 131.4 元；EXP(F2) 約為 114.1314 元，是樣本的幾何平均，也是用這些參數擬合的對數常態分布中位數。它不是這 10 筆原始資料的樣本中位數：排序後中央兩筆是 96 與 118，MEDIAN 的結果為 107。描述原始資料和描述假設分布時，要分清楚用的是哪一個統計量。

LOGNORM.DIST

算對數常態分布在某個金額以下的累積機率。

語法：=LOGNORM.DIST(x, 平均, 標準差, [累積])

Google 的函式說明只列 x、平均值、標準差三個引數，說明文字是回傳累積分布，沒有列出累積引數。實測第四個引數可以給（下方有說明）。Excel 的 LOGNORM.DIST 則是四個引數都要寫，cumulative 必填，所以上面的 =LOGNORM.DIST(150, F2, F3) 貼到 Excel 要補成 =LOGNORM.DIST(150, F2, F3, TRUE)。

• x：金額，要大於 0。
• 平均、標準差：LN 之後的平均與標準差。

先手算。一張 150 元的單：LN(150) = 5.0106，Z 分數 = (5.0106 − 4.7374) ÷ 0.5389 = 0.5072，標準常態在 0.5072 以下的累積機率是 0.6940。再用函式：

你應該會得到 0.6940。超過 200 元的比例用 1 減：

結果是 0.1489。換句話說，LOGNORM.DIST(x, F2, F3) 跟 NORM.DIST(LN(x), F2, F3, TRUE) 是同一個數字，後者你在常態分布那篇看過了。

第四個累積參數省略或 TRUE 算累積機率，FALSE 算密度。LOGNORM.DIST(2,0,1) 與第四參數 TRUE 都為 0.7558914042，改 FALSE 為 0.1568740193。舊名 LOGNORMDIST 仍用三參數，多給第四參數回 #N/A。

LOGNORM.INV

LOGNORM.DIST 的反向：給累積機率，找出對應的金額。

語法：=LOGNORM.INV(機率, 平均, 標準差)

結果是 227.6771。手算：Z 分數 1.2816，EXP(4.7374 + 1.2816 × 0.5389) = EXP(5.4281) = 227.7。所以大約 228 元以下涵蓋九成的訂單。

機率填 0.5 就是這個擬合分布的中位數，=LOGNORM.INV(0.5, F2, F3) 是 114.1314，跟上面 EXP(F2) 一樣。

機率要在 0 到 1 之間，不含頭尾，否則會回 #NUM!。

LOGNORMDIST

LOGNORM.DIST 的舊名，同樣算累積機率。

語法：=LOGNORMDIST(x, 平均, 標準差)

結果同樣是 0.6940。

LOGINV

LOGNORM.INV 的舊名。

語法：=LOGINV(機率, 平均, 標準差)

結果同樣是 227.6771。

指數分布

指數分布描述「兩件事之間隔多久」，只有一個參數 lambda，是速率，每單位時間發生幾次。客服電話平均每 4 分鐘一通，lambda = 1 ÷ 4 = 0.25 通 / 分鐘。

注意跟 Gamma 的 beta 剛好相反：EXPON.DIST 的 lambda 是速率，Gamma 的 beta 是間隔。

EXPON.DIST

算在某個時間內發生的累積機率，或者密度。

語法：=EXPON.DIST(x, lambda, 累積)

• x：經過的時間，不能是負數。
• lambda：速率，要大於 0。
• 累積：TRUE 是「x 以內發生的機率」，FALSE 是密度。

先手算。2 分鐘內來電的機率是 1 − e^(−0.25 × 2) = 1 − e^(−0.5) = 1 − 0.6065 = 0.3935。

你應該會得到 0.3935。超過 6 分鐘都沒來電的機率：

結果是 0.2231，也就是 e^(−1.5)。想知道 9 成的間隔在幾分鐘內，這個函式沒有反向版本，自己反推：x = −LN(1 − 機率) ÷ lambda：

結果是 9.2103 分鐘。

FALSE 是密度，=EXPON.DIST(2, 0.25, FALSE) 是 0.1516，用來畫曲線。

指數分布有個很反直覺的特性：已經等了多久不影響接下來。已經 6 分鐘沒電話，接下來 2 分鐘內來電的機率還是 0.3935：

結果是 0.3935，跟剛開始等的時候一模一樣。這是在說電話來得跟過去無關。如果你的資料不是這樣（例如設備越用越容易壞），就該換下面的 Weibull。

EXPONDIST

EXPON.DIST 的舊名，參數一樣。

語法：=EXPONDIST(x, lambda, 累積)

結果同樣是 0.3935。

Weibull 分布

Weibull 專門算壽命。兩個參數：形狀 shape 決定「越用越容易壞」還是「前期容易壞」，尺度 scale 是特徵壽命。

• shape 等於 1：壞的機率不隨使用時間變化，就是指數分布。
• shape 大於 1：越用越容易壞（磨損），一般機械設備屬於這類。
• shape 小於 1：前期容易壞，後面反而穩定（早夭），電子零件常見。

接下來用一批工廠風扇做例子，shape = 1.5、scale = 2000 小時。這兩個數字是假設的，真實設備要靠故障紀錄去估。

WEIBULL.DIST

算 Weibull 分布的累積機率或密度。

語法：=WEIBULL.DIST(x, shape, scale, 累積)

• x：使用時數，不能是負數。
• shape、scale：兩個參數，都要大於 0。
• 累積：TRUE 是「x 小時以內壞掉的機率」，FALSE 是密度。

先手算。1000 小時內壞掉的機率是 1 − e^(−(1000 ÷ 2000)^1.5) = 1 − e^(−0.3536) = 0.2978。

你應該會得到 0.2978。

x 剛好等於 scale 的時候，結果永遠是 1 − e^(−1) = 0.6321，不管 shape 是多少，所以 scale 也叫「63.2% 壽命」：

結果是 0.6321。撐過 1500 小時的機率（可靠度）用 1 減：

結果是 0.5223。

維修會最常問的是「保固要給多久，壞的比例才不超過 10%」。Weibull 一樣沒有反向函式，自己反推：x = scale × (−LN(1 − 機率))^(1 ÷ shape)。

結果是 446.1511 小時，也就是 10% 的風扇在 446 小時左右就壞了。中位數是 =2000 * (-LN(1 - 0.5)) ^ (1 / 1.5)，得到 1566.4395 小時。

平均壽命 = scale × GAMMA(1 + 1 / shape)，這時候 GAMMA 就派上用場了：

結果是 1805.4906。平均比中位數高，因為少數特別耐用的風扇把平均拉上去。

FALSE 是密度，=WEIBULL.DIST(1000, 1.5, 2000, FALSE) 是 0.000372，這是失效機率密度（不是瞬時失效率），一樣只用來畫曲線。

shape 改成 1 就是指數分布。=WEIBULL.DIST(2, 1, 4, TRUE) 是 0.3935，等於平均間隔 4 的 EXPON.DIST(2, 0.25, TRUE)。shape 改成 3 的話，磨損會集中在接近 scale 的時候，=WEIBULL.DIST(3000, 3, 2000, TRUE) 是 0.9658，三千小時幾乎都壞光了。

WEIBULL

WEIBULL.DIST 的舊名，參數一樣。

語法：=WEIBULL(x, shape, scale, 累積)

結果同樣是 0.2978。

三個分布放在一起看

同樣是算「某個值以內的機率」，三者差在資料長相：

這些結果都建立在「資料真的長這樣」的前提上。我自己會先拿真實資料畫個直方圖看形狀，再決定套哪個分布。接下來試著把自己的訂單或來電紀錄丟進去算算看吧。