指數、對數與階乘：EXP、LN、LOG、FACT、GAMMALN 與 SERIESSUM

今天整理指數與對數這一家，EXP、LN、LOG、LOG10，再加上階乘 FACT 和幾個比較冷門的數學特殊函式：FACTDOUBLE、MULTINOMIAL、GAMMALN、SQRTPI、SUMSQ、SERIESSUM、ERF、ERFC。

我自己用最多的是 LN 和 LOG，通常是算「照這個成長率，幾年會翻倍」這類題目，這篇最後就做這個。階乘那一排、ERF 和 ERFC 我大概一年用不到一次，當工具書查就好。三角函式另外在 三角函式基本款 和 倒數與雙曲三角函式。

怎麼選

指數與對數

EXP

傳回歐拉數 e（約 2.71828）的指定次方。

語法：=EXP(指數)

結果是 2.7183，也就是 e 本身。=TEXT(EXP(-1), "0.0000") 是 0.3679，指數衰減常會用到負的指數。

LN

傳回以 e 為底的自然對數，EXP 的反函數。

語法：=LN(值)

• 值：必須大於 0，等於 0 或負數都是 #NUM!。

結果是 1.0000。LN(2) 約 0.6931，等一下的翻倍題會用到。

LOG

傳回指定底數的對數。

語法：=LOG(值, [底數])

• 值：必須大於 0。
• 底數：選填，不寫就是 10。

先手算：4 × 4 × 4 = 64，所以是 3 次方，函式也會給你 3。底數不寫的話，=LOG(1000) 是 3。

LOG10

傳回以 10 為底的對數，等於不寫底數的 LOG。

語法：=LOG10(值)

工程上的分貝（dB）是 10 × 功率比的 LOG10。功率放大 250 倍：

結果是 23.9794 dB。我個人會直接寫 LOG10，因為一看就知道底數是 10，不用猜 LOG 的預設值。

階乘與排列組合

FACT

傳回階乘，n 的階乘是 1 × 2 × … × n。

語法：=FACT(n)

• n：0 或正數，帶小數會被捨去小數部分，負數是 #NUM!。

6 個人排成一列有幾種排法：

先手算：6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720，函式也是 720。FACT(0) 是 1。階乘長得很快，約 170 就逼近試算表能表示的上限，=FACT(171) 是 #NUM!，更大的階乘改用下面的 GAMMALN。

FACTDOUBLE

傳回雙階乘，也就是每隔一個數相乘。

語法：=FACTDOUBLE(n)

先手算：7 × 5 × 3 × 1 = 105。偶數的話，=FACTDOUBLE(6) 是 6 × 4 × 2 = 48。

MULTINOMIAL

傳回多項式係數，也就是把總數分成幾個固定大小的組別，有幾種分法。公式是 (各數總和)! ÷ (各數的階乘相乘)。

語法：=MULTINOMIAL(值1, [值2, ...])

把 9 個人分成 2 人、3 人、4 人三組：

先手算：9! ÷ (2! × 3! × 4!) = 362880 ÷ 288 = 1260，函式也是 1260。

GAMMALN

傳回伽瑪函數絕對值的自然對數。對正整數 n，GAMMALN(n) 就是 (n−1)! 的自然對數，用在階乘大到 FACT 會溢位的時候。

語法：=GAMMALN(值)

• 值：必須大於 0。

4! 是 24，LN(24) 約 3.1781，兩邊一致。200 的階乘遠超過 FACT 能算的範圍，但取對數很簡單：=TEXT(GAMMALN(201), "0.0000") 是 863.2320，意思是 200! 約為 e 的 863.2320 次方。

GAMMALN.PRECISE

跟 GAMMALN 同一個用途，語法也相同，名稱多了 .PRECISE 的是較新的寫法。

語法：=GAMMALN.PRECISE(值)

結果是 3.1781，跟 GAMMALN 一樣。我習慣寫 GAMMALN，不過別人的舊檔案裡兩種都可能碰到。

其他數學函式

SQRTPI

傳回 (數 × π) 的平方根。

語法：=SQRTPI(值)

• 值：不能是負數，負數是 #NUM!。

結果是 2.5066，常態分布的機率密度公式裡就有它。=TEXT(SQRTPI(1), "0.0000") 是 1.7725。

SUMSQ

傳回一串數字平方後的總和。

語法：=SUMSQ(值1, [值2, ...])

• 值：數字、儲存格或範圍，可以給很多個。

直角三角形兩股長 3 和 4，斜邊平方就是兩邊平方相加：

先手算：9 + 16 = 25，函式也是 25，開根號 =SQRT(SUMSQ(3, 4)) 就是斜邊 5。範圍也可以，D2:D5 放 2、3、5、7：

4 + 9 + 25 + 49 = 87。三維座標的向量長度也是這個寫法，1.5、2.5、3.5 放在 A2:C2，=TEXT(SQRT(SUMSQ(A2:C2)), "0.0000") 是 4.5552。

SERIESSUM

計算冪級數的和：係數 × x 的冪次，逐項加總。

語法：=SERIESSUM(x, n, m, 係數)

• x：代入的值。
• n：第一項的次方。
• m：每一項次方增加的量。
• 係數：一列或一欄的數字，第 1 個係數對應第 1 項。

公式是：第 i 個係數 × x 的 (n + (i − 1) × m) 次方，全部加起來。

拿 e 的泰勒展開來試試，e 的 x 次方 ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24。A2 到 A6 依序放 1、1、1/2、1/6、1/24，x 代 1，次方從 0 開始、每項加 1：

結果是 2.7083。只算 5 項，跟真正的 e（2.7183）還差一點，項數越多越接近。

ERF

傳回誤差函數的值，常態分布裡「落在平均值上下幾個標準差內」的機率就是從它來的。

語法：=ERF(下限, [上限])

• 下限：只給這一個參數時，傳回從 0 積分到這個值的誤差函數。
• 上限：選填，兩個都給時，傳回介於下限和上限之間的積分。

結果是 0.8427，跟下面的 ERFC(1) 加起來剛好是 1。兩個參數的寫法，=TEXT(ERF(0.5, 1), "0.0000") 是 0.3222，也就是 ERF(1) 0.8427 減掉 ERF(0.5) 0.5205。

和常態分布的關係：資料落在平均值上下 1 個標準差內的機率是 ERF(1 ÷ SQRT(2))，=TEXT(ERF(1/SQRT(2)), "0.0000") 是 0.6827，也就是常聽到的 68%。2 個標準差改成 ERF(2/SQRT(2))，是 0.9545。實務上我一樣是用 NORM.S.DIST，這邊當作原理的小知識。

ERF.PRECISE

跟 ERF 同一個用途，名稱多了 .PRECISE。

語法：=ERF.PRECISE(下限, [上限])

結果是 0.8427，跟 ERF(1) 一樣。

ERFC

傳回誤差函數的補數，也就是 1 減去 ERF。

語法：=ERFC(下限)

結果是 0.1573。ERFC(0) 是 1，=TEXT(ERFC(2), "0.0000") 是 0.0047，越往右越小。

和常態分布的關係：標準常態分布中，超過平均值 1 個標準差的右尾機率是 0.5 × ERFC(1 ÷ SQRT(2))，=TEXT(0.5*ERFC(1/SQRT(2)), "0.0000") 是 0.1587。實務上我直接用 NORM.S.DIST，不會自己拆成 ERFC。

ERFC.PRECISE

跟 ERFC 同一個用途，語法相同。

語法：=ERFC.PRECISE(下限)

結果是 0.1573。

實例：幾年會翻倍

最後做一個我最常算的題目。A2 放本金 8300，B2 放年利率 0.037（3.7%），C2 放年數 5。

先看兩種複利。一年算一次，是 A2*(1+B2)^C2；連續複利，就用 EXP：

結果是 9986.7131。一年算一次的結果是 9953.4096，連續複利略高一點。

接著是「年成長 3.7%，幾年會翻倍」。每年乘 1.037，要乘幾次才到 2 倍？也就是解 1.037 的 t 次方 = 2，兩邊取對數，t = LN(2) ÷ LN(1.037)：

結果是 19.0782 年。用 LOG 直接指定底數寫起來更短，=LOG(2, 1+B2) 也是 19.0782。

如果目標不是 2 倍，是「本金 8300 要到 15000」：

結果是 16.2886 年。這個公式的邏輯就是「目標倍數取對數，除以成長倍數取對數」，改數字就能重用。

試著把 B2 換成你自己的年成長率看看吧！