SIN、COS、TAN 之外，試算表還有一整排很少人用的親戚：倒數的 SEC、CSC、COT，雙曲的 SINH、COSH、TANH，以及它們的反函數。今天一次整理。
坦白說我在工作上用到的機會很少，大概一年一兩次。倒數三角函式偶爾用在算梯子、斜撐的長度，雙曲函數用過兩種場合：算電線的下垂量，還有把相關係數做費雪轉換（ATANH）。基本款的 SIN、COS、TAN 與弧度的觀念在 三角函式基本款 講過，沒看過的話建議先看那篇，因為這篇的三角函式也一律用弧度。輸入是複數的話，雙曲函式有 IMSINH、IMCOSH 這類對應版本，見 複數三角與雙曲函式。
怎麼選
| 函式 | 等於 | 輸入 | 輸入限制 |
|---|---|---|---|
SEC | 1 ÷ COS | 弧度 | 無 |
CSC | 1 ÷ SIN | 弧度 | 不能是 0 |
COT | 1 ÷ TAN | 弧度 | 不能是 0 |
SINH、COSH、TANH | 雙曲正弦、餘弦、正切 | 任何數 | 無 |
SECH、CSCH、COTH | 1 ÷ COSH、SINH、TANH | 任何數 | CSCH、COTH 不能是 0 |
反函數：
| 函式 | 反的是 | 輸入範圍 |
|---|---|---|
ACOT | COT | 任何數 |
ASINH | SINH | 任何數 |
ACOSH | COSH | 1 以上 |
ATANH | TANH | 大於 -1 且小於 1 |
ACOTH | COTH | 絕對值大於 1 |
倒數三角函式
三個函式的輸入都是弧度，角度要先用 RADIANS 轉。
SEC
傳回正割，也就是餘弦的倒數。
語法：
π/3 弧度（60 度）的餘弦是 0.5，倒數就是 2：
60 度的正割
=TEXT(SEC(PI()/3), "0.0000")結果是 2.0000。 則是 1.8508。
要算斜坡的斜長時它很方便：水平距離是 11.95 公尺、坡度角 17 度，斜長 = 水平距離 × SEC(坡度角)：
水平 11.95 公尺、坡度角 17 度的斜長
=TEXT(11.95*SEC(RADIANS(17)), "0.0000")結果是 12.4960 公尺。
CSC
傳回餘割，也就是正弦的倒數。
語法：
1 弧度的餘割
=TEXT(CSC(1), "0.0000")結果是 1.1884。輸入 0 的正弦是 0，會得到 #DIV/0!。
COT
傳回餘切，也就是正切的倒數。
語法：
1 弧度的餘切
=TEXT(COT(1), "0.0000")結果是 0.6421。輸入 0 同樣是 #DIV/0!。
ACOT
傳回反餘切，結果是弧度。
語法：
- 值：任何數字。
反餘切 1，轉成角度
=TEXT(DEGREES(ACOT(1)), "0.0000")結果是 45.0000 度。輸入為正數時，ACOT(x) 等於 ATAN(1/x)，例如 是 0.4636。負數也是 ATAN(1/x)，例如 ACOT(-1) 是 -0.7854、ACOT(-2) 是 -0.4636，ACOT(0) 是 1.5708（π/2），所以結果落在 -π/2 到 π/2 之間。Excel 的 ACOT 值域是 0 到 π，負數的結果不同（ACOT(-1) 是 2.3562），從 Excel 搬公式過來要留意。
雙曲函數
雙曲函數用 e 的指數組成，不是用角度，所以輸入是一般的數字，不需要 RADIANS。
SINH
傳回雙曲正弦，定義是 (EXP(x) - EXP(-x)) / 2。
語法：
1 的雙曲正弦
=TEXT(SINH(1), "0.0000")結果是 1.1752。
COSH
傳回雙曲餘弦，定義是 (EXP(x) + EXP(-x)) / 2，最小值是 COSH(0) 的 1。
語法：
0 的雙曲餘弦
=COSH(0)結果是 1。
TANH
傳回雙曲正切，等於 SINH ÷ COSH，結果永遠夾在 -1 到 1 之間，輸入越大越貼近 1。
語法：
2 的雙曲正切
=TEXT(TANH(2), "0.0000")結果是 0.9640。我會把它當成把任意數字壓進 -1 到 1 的轉換器， 是 0.4621。
SECH
傳回雙曲正割，COSH 的倒數。
語法：
1 的雙曲正割
=TEXT(SECH(1), "0.0000")結果是 0.6481。
CSCH
傳回雙曲餘割，SINH 的倒數。
語法：
1 的雙曲餘割
=TEXT(CSCH(1), "0.0000")結果是 0.8509。輸入 0 是 #DIV/0!。
COTH
傳回雙曲餘切，TANH 的倒數。
語法：
1 的雙曲餘切
=TEXT(COTH(1), "0.0000")結果是 1.3130。輸入 0 是 #DIV/0!。
反雙曲函數
ASINH
傳回反雙曲正弦，輸入沒有範圍限制。
語法：
我自己最常用 ASINH 的地方，是資料有 0 或負數、又想壓縮大小差距的時候，因為 LN 碰到 0 和負數會 #NUM!，ASINH 不會，而且大數時的行為接近 LN：
1000 的反雙曲正弦
=TEXT(ASINH(1000), "0.0000")結果是 7.6009，對照 LN(1000) 是 6.9078。ASINH(-1000) 是 -7.6009，正負對稱。
ACOSH
傳回反雙曲餘弦，輸入必須是 1 以上。
語法：
1.5 的反雙曲餘弦
=TEXT(ACOSH(1.5), "0.0000")結果是 0.9624。輸入小於 1，例如 ，會得到 #NUM!。
ATANH
傳回反雙曲正切，輸入必須大於 -1 且小於 1。
語法：
0.8 的反雙曲正切
=TEXT(ATANH(0.8), "0.0000")結果是 1.0986。輸入剛好是 1 或 -1 會是 #NUM!。
統計裡常見的相關係數費雪轉換（Fisher z）就是 ATANH：相關係數 0.8 轉成 1.0986，做完計算後再用 TANH 轉回來， 會得到 0.8000。
ACOTH
傳回反雙曲餘切，輸入的絕對值必須大於 1。
語法：
2 的反雙曲餘切
=TEXT(ACOTH(2), "0.0000")結果是 0.5493，跟 ATANH(0.5) 一樣，因為 ACOTH(x) 就是 ATANH(1/x)。輸入的絕對值小於等於 1，例如 ，是 #NUM!。
實例：電線下垂量與梯子長度
兩條實例，各用到這一族的不同部分。
梯子要多長
梯子靠牆，牆上的接觸點高 4.2 公尺，梯子與地面夾角 70 度。梯長 = 高度 × CSC(角度)，梯腳離牆的距離 = 高度 × COT(角度)：
牆高 4.2 公尺、夾角 70 度的梯長
=TEXT(4.2*CSC(RADIANS(70)), "0.0000")結果是 4.4695 公尺。
梯腳離牆的距離
=TEXT(4.2*COT(RADIANS(70)), "0.0000")結果是 1.5287 公尺。
兩根電線桿之間垂多少
自由下垂的電線形狀是懸鏈線，方程式是 y = a × COSH(x ÷ a)。A2 放形狀參數 a（15），B2 放離最低點的水平距離 x（10，也就是兩根電線桿相距 20 公尺的一半）。
電線在桿頂比最低點高出的距離（下垂量）= a × COSH(x ÷ a) − a：
下垂量
=TEXT(A2*COSH(B2/A2)-A2, "0.0000")結果是 3.4586 公尺。電線的實際長度 = 2 × a × SINH(x ÷ a)：
電線總長
=TEXT(2*A2*SINH(B2/A2), "0.0000")結果是 21.5148 公尺。
反過來，已知下垂量 3.4586 公尺，求水平距離，要用 ACOSH：x = a × ACOSH(1 + 下垂量 ÷ a)：
由下垂量反推水平距離
=TEXT(A2*ACOSH(1+3.4586/A2), "0.0000")結果是 10.0000 公尺，回到原本的 10。這裡的 a 是我自己假設的形狀參數，實際工程上 a 取決於電線的張力和重量，這篇不討論。
需要的時候回來查一下，就這樣！
接下來可以
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