今天整理一組三角函式，SIN、COS、TAN 和它們的反函數，外加負責角度與弧度轉換的 RADIANS、DEGREES、PI。
我在工作上用到的機會不多，通常是算斜坡或屋頂的高度，或是用兩地的經緯度估算直線距離，這兩個題目這篇最後都會做。其他情況當工具書查就好。
怎麼選
最容易踩的地方先講：Google 試算表的三角函式一律用弧度（radian），不是度。SIN(30) 不是 0.5，是 30 弧度的正弦，約 -0.9880。要用度，就先用 RADIANS 轉過去，結果是角度的函式（ASIN、ACOS、ATAN、ATAN2）再用 DEGREES 轉回來。
| 想做的事 | 用哪個 | 輸入 | 輸出 |
|---|---|---|---|
| 已知角度，求對邊比斜邊 | SIN | 弧度 | 比值 |
| 已知角度，求鄰邊比斜邊 | COS | 弧度 | 比值 |
| 已知角度，求對邊比鄰邊 | TAN | 弧度 | 比值 |
| 已知比值，求角度 | ASIN、ACOS、ATAN | 比值 | 弧度 |
| 已知座標，求角度 | ATAN2 | x、y | 弧度 |
| 角度與弧度互換 | RADIANS、DEGREES | 角度或弧度 | 弧度或角度 |
倒數的 SEC、CSC、COT 和雙曲函數另外整理在 倒數與雙曲三角函式，指數與對數在 指數、對數與特殊函式。輸入是複數（3+4i 這種格式）的話，要改用 IMSIN、IMCOS 這類函式，見 複數三角與雙曲函式。
角度與弧度
PI
傳回圓周率 π，不需要參數，括號仍要寫。
語法：
圓周率，取到小數 4 位
=TEXT(PI(), "0.0000")結果是 3.1416。半圓是 π 弧度，整圓是 2π，所以 就是整圓的弧度數。
RADIANS
把角度換成弧度。
語法：
- 角度：以度為單位的數字。
180 度剛好是 π 弧度：
180 度轉弧度
=TEXT(RADIANS(180), "0.0000")結果是 3.1416。手算的話是 角度 × π ÷ 180，所以 90 度就是 1.5708 弧度。
DEGREES
把弧度換成角度，RADIANS 的反方向。
語法：
π 弧度轉角度
=TEXT(DEGREES(PI()), "0.0000")結果是 180.0000。ASIN 這類函式算出來的弧度，我習慣直接包一層 DEGREES 再看，比較有感覺。
正弦、餘弦、正切
下面三個函式都以 A2 放斜坡的斜長 12.5 公尺、B2 放坡度角 17 度來示範。
SIN
傳回角度的正弦，也就是對邊比斜邊。
語法：
斜坡的高度 = 斜長 × SIN(坡度角)：
斜長 12.5 公尺、坡度角 17 度的高度
=A2*SIN(RADIANS(B2))12.5 × sin(17°) 約 3.6546，所以高度大約 3.6546 公尺。
最容易漏掉的就是 RADIANS。直接寫 會把 17 當成 17 弧度，答案完全不對，也不會出現錯誤提示。
另外，SIN(PI()) 理論上是 0，電腦算出來是約 1.2E-16 的極小數，顯示時要小心。需要整齊的結果就包 ROUND，例如 得到 0。
COS
傳回角度的餘弦，也就是鄰邊比斜邊。
語法：
同一個斜坡的水平距離 = 斜長 × COS(坡度角)：
斜長 12.5 公尺、坡度角 17 度的水平距離
=A2*COS(RADIANS(B2))結果約 11.9538 公尺。可以驗一下畢氏定理：3.6546 的平方加上 11.9538 的平方，開根號剛好回到 12.5。
TAN
傳回角度的正切，也就是對邊比鄰邊，工地上的「坡度百分比」就是它乘以 100。
語法：
坡度角 17 度的坡度比值
=TEXT(TAN(RADIANS(B2)), "0.0000")結果是 0.3057，也就是約 30.57% 的坡度。
TAN 在 90 度、270 度這些位置在數學上沒有定義。電腦的 π 只是近似值，所以 會得到約 1.6E+16 的極大數字，而不是錯誤，看到這種大到離譜的數就代表角度踩到了 90 度附近。
反三角函數
反函數是已知比值，求角度，結果是弧度，要轉成度就包 DEGREES。以下用量到的高 3.65 公尺、斜長 12.5 公尺、水平 11.95 公尺來反推坡度角。
ASIN
傳回反正弦，輸入必須在 -1 到 1 之間，結果落在 -π/2 到 π/2。
語法：
用高度與斜長反推坡度角
=TEXT(DEGREES(ASIN(3.65/12.5)), "0.0000")結果是 16.9777 度。輸入超過 1，例如 ，會得到 #NUM!。
ACOS
傳回反餘弦，輸入同樣是 -1 到 1，結果落在 0 到 π。
語法：
用水平距離與斜長反推坡度角
=TEXT(DEGREES(ACOS(11.95/12.5)), "0.0000")結果是 17.0596 度。跟 ASIN 的 16.9777 度有些差距，是因為 3.65 和 11.95 都是四捨五入後的量測值，量測值本身的誤差會被放大，這是正常的。
ATAN
傳回反正切，任何數字都能輸入，結果落在 -π/2 到 π/2。
語法：
用高度與水平距離反推坡度角
=TEXT(DEGREES(ATAN(3.65/11.95)), "0.0000")結果是 16.9847 度。三個反函數裡我最常用 ATAN，因為它不會有輸入超出範圍的問題，只要鄰邊不是 0 就能算。
ATAN2
由 x、y 座標算出該點的角度，結果落在 -π 到 π，能分辨在哪一個象限。
語法：
- x：點的 x 座標。
- y：點的 y 座標。
注意引數順序是 x 在前、y 在後，跟很多程式語言的 atan2(y, x) 相反，這是新手最常寫反的地方。
x 為 -1、y 為 1 的點，距離正 x 軸幾度
=TEXT(DEGREES(ATAN2(-1, 1)), "0.0000")結果是 135.0000 度。同一個點用 ATAN(1/-1) 只會得到 -45 度，因為 ATAN 只看比值，分不出 (1, -1) 和 (-1, 1)。ATAN2(0, 0) 會是 #DIV/0!。
實例：兩地經緯度算直線距離
最後一個題目，我想知道台北車站（緯度 25.0478、經度 121.5170）到高雄車站（緯度 22.6394、經度 120.3022）的直線距離。座標取小數 4 位的大約值。
地球是球體，不能直接用平面的畢氏定理，要用 haversine 公式。先把四個數字放進去，A2 是起點緯度、B2 是起點經度、C2 是終點緯度、D2 是終點經度。地球半徑取 6371 公里：
haversine 公式，算兩地球面距離（公里）
=2*6371*ASIN(
SQRT(
SIN(RADIANS(C2-A2)/2)^2 +
COS(RADIANS(A2))*COS(RADIANS(C2))*SIN(RADIANS(D2-B2)/2)^2
)
)拆開看，緯度差與經度差都先 RADIANS 轉成弧度並除以 2，SIN 平方之後依公式組合，SQRT 開根號、ASIN 還原成中心角，最後乘上 2 倍半徑。算出來是 294.9220 公里。
也有人把最後一步寫成 ATAN2(SQRT(1-a), SQRT(a))，在兩點非常接近或剛好在地球對面時比較穩。這個距離用 ASIN 的寫法就夠了，兩種寫法的結果相同。
這個距離是球面上的直線距離，不是公路或鐵路的里程。
需要的時候回來查一下，就這樣！
接下來可以
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