信賴區間怎麼算：CONFIDENCE.T、MARGINOFERROR 與 FISHER 轉換

10 家分店的日均杯數平均是 140，但這 10 家店只是全部分店的一小撮，真正的平均會落在哪？信賴區間就是回答這個問題的範圍，今天來整理算它的 CONFIDENCE.T、CONFIDENCE.NORM，2023 年新增的 MARGINOFERROR，還有算相關係數區間時要用的 FISHER 與 FISHERINV。

這幾個函式我個人最常用的是 CONFIDENCE.T，因為手上的樣本通常都很小。MARGINOFERROR 是新的，語法最簡單，它等於用 t 分布的 CONFIDENCE.T，下面那節會講。

範例資料

同一份資料：A 欄分店、B 欄本月日均杯數、C 欄活動後、D 欄日均人流（百人），完整表格在 常態分布 那篇。平均與標準差的算法見 統計分析。

F2、F3 先放平均與標準差：

F2 是 140，F3 是 12.5078。

怎麼選

信賴區間 = 平均 ± 誤差範圍。前三個 CONFIDENCE 家族函式算的就是「±」後面那一半寬度。

alpha 跟信賴水準是互補的：95% 信賴水準對應 alpha = 0.05。MARGINOFERROR 直接寫 0.95，CONFIDENCE 家族寫 0.05，這是最容易搞混的地方。

CONFIDENCE.T

用 t 分布算信賴區間的半寬度。樣本小、標準差用樣本算的，就用它。

語法：=CONFIDENCE.T(alpha, 標準差, 樣本數)

• alpha：顯著水準，95% 信賴就寫 0.05。
• 標準差：樣本標準差。
• 樣本數：樣本的個數。Sheets 說明頁把這個參數叫 size（母體大小），實際上和 CONFIDENCE.NORM 一樣，是當樣本數來算標準誤。

先手算。標準誤是 12.5078 ÷ √10 = 3.9553，自由度 9、雙尾 0.05 的 t 值是 2.2622（T.INV.2T(0.05, 9)，見 t 分布），半寬度是 2.2622 × 3.9553 = 8.9475。

你應該會得到 8.9475。區間是 140 ± 8.9475：

下界 131.0525、上界 148.9475。也就是說，以這 10 家店推估，所有分店的真實平均大約落在 131.05 到 148.95 杯之間。t 分布那篇用的目標 135 在區間裡面，跟 p 值 0.2379 看不出差異的結論一致。

信賴水準提高，區間就變寬。90% 信賴（alpha = 0.1）的半寬度是 7.2505，比 95% 的 8.9475 窄。

CONFIDENCE.NORM

用常態分布算半寬度。適合母體標準差已知，或樣本夠大（一般說法是 30 以上）的情況。

語法：=CONFIDENCE.NORM(alpha, 標準差, 樣本數)

Sheets 說明頁把第三個參數叫 pop_size（母體大小），不過公式是拿它當樣本數算標準誤，我照這個意思寫。

假設總公司說單店日杯數的標準差長年是 10 杯（假設的情況）：

先手算：1.96 × 10 ÷ √10 = 6.1980，函式也是 6.1980。

同樣是 10 個樣本，改用樣本標準差 F3 的話：

結果是 7.7523，比 CONFIDENCE.T 的 8.9475 小。樣本才 10 個，用常態分布會把區間算得太窄，看起來比實際上更有把握。這是我選 CONFIDENCE.T 的原因。

CONFIDENCE

CONFIDENCE.NORM 的舊名，參數與結果一樣。

語法：=CONFIDENCE(alpha, 標準差, 樣本數)

結果是 6.1980。注意舊名對應的是常態分布版，不是 t 分布版。

MARGINOFERROR

2023 年新增的函式，直接從資料範圍算誤差範圍，不用先算標準差與樣本數。

語法：=MARGINOFERROR(範圍, 信賴水準)

• 範圍：資料所在的儲存格。
• 信賴水準：這邊寫 0.95，不是 0.05。

Sheets 說明頁寫它等同 CONFIDENCE.T(1 - 信賴水準, STDEV(範圍), COUNT(範圍))，也就是等於用 t 分布的 CONFIDENCE.T，所以結果一樣是 8.9475。

它的好處是少寫兩個參數，用起來像這樣：

範圍裡的空白儲存格和文字會被忽略，跟 STDEV.S 的處理方式一樣；範圍裡少於 2 個數字的話會回 #DIV/0!。

FISHER

相關係數的 Fisher 轉換。相關係數 r 的分布不對稱，轉換後才近似常態，可以拿來算信賴區間。

語法：=FISHER(r)

• r：-1 到 1 之間，不含 -1 和 1。

先算 B 欄杯數和 D 欄人流的相關係數，放在 F5：

結果是 0.7112，人流越多的店杯數越高。轉換：

得到 0.8895（就是 r 的反雙曲正切）。r 剛好是 0.5 時，=FISHER(0.5) 是 0.5493。r 超出 -1 到 1 會出現 #NUM!。

轉換後的標準誤是 1 ÷ √(n − 3)，n = 10 時是 1 ÷ √7 = 0.3780。95% 區間在轉換後的世界是 0.8895 ± 1.96 × 0.3780，也就是 0.1487 到 1.6303。

FISHERINV

FISHER 的反向，把轉換後的值換回相關係數。

語法：=FISHERINV(y)

接續上面，把區間兩端換回相關係數：

下界 0.1476、上界 0.9261。也就是 r = 0.7112 的 95% 信賴區間很寬，從幾乎沒有關係到高度相關都有可能，因為只有 10 家店。樣本少時相關係數的區間就是會這麼寬，光看 0.7 這個數字會高估把握。

=FISHERINV(0.5) 是 0.4621，來回轉換會回到原來的值。

兩邊都用 NORM.S.INV(0.975)（1.96）是因為 Fisher 轉換之後的值近似常態分布，這時候用常態分布是對的，跟前面 CONFIDENCE.NORM 在小樣本不理想的情況不一樣。

全部放在一起

小樣本的平均，我用第一列。要不要真的相信這個區間，要看這 10 家店有沒有代表性，函式算得再準也補不了抽樣的偏差。