相關與共變數函式：PEARSON、RSQ、STEYX、COVARIANCE.S 與 COVAR

天氣越熱，冰紅茶真的賣得越多嗎？要回答這種「兩組數字有沒有一起動」的問題，除了常見的 CORREL，還有 PEARSON、RSQ、STEYX 和三個共變數函式 COVAR、COVARIANCE.P、COVARIANCE.S，這篇把它們整理起來。

預測用的 FORECAST、TREND、SLOPE、INTERCEPT 和 CORREL 已經在 預測函式整理 講過，這裡不重複，只補它們旁邊的幾個。這幾個新函式裡我個人最常用的是 RSQ，因為「決定係數 0.97」比「相關係數 0.98」好跟別人解釋：氣溫可以解釋銷量變化的 97%。

範例資料

三篇統計函式整理（另外兩篇是 描述統計進階函式 和 標準差與變異數）共用同一份資料：一間茶飲店 8 天的氣溫和冰紅茶銷量，放在 A、B 欄，第 1 列是標題：

這篇的函式都有兩個範圍：第一個放要預測的 y（銷量），第二個放 x（氣溫）。Sheets 的參數名稱是 data_y 和 data_x，這篇沿用「y 範圍」「x 範圍」。

先手算

氣溫的平均是 27.625，銷量的平均是 54.625。下面三個數字是後面所有函式的材料：

• x 的離差平方和：99.875
• y 的離差平方和：1293.875
• x、y 的離差乘積和：353.875（每一天的氣溫差乘上銷量差，再全部加起來）

離差平方和的算法在 標準差與變異數 手算過。乘積和 353.875 是每天「氣溫比平均高多少」乘上「銷量比平均高多少」的加總，氣溫高的日子銷量也高，乘出來都是正的，所以加總很大。

怎麼選

相關係數

PEARSON

皮爾森積差相關係數 r，範圍在 −1 到 1。越接近 1 表示一起上升，越接近 −1 表示一高一低，接近 0 表示看不出線性關係。

語法：=PEARSON(y 範圍, x 範圍)

• 兩個範圍的筆數要一樣。範圍裡的文字與空白會被略過。

算法是離差乘積和除以兩個離差平方和乘積的平方根：353.875 ÷ √(99.875 × 1293.875) = 0.9844。這 8 天的氣溫跟銷量幾乎排成一條上升的直線。

PEARSON 跟 預測函式整理 裡的 CORREL 回傳的是同一個數字，我用 CORREL 比較多，因為好打。看到別人用 PEARSON 不用怕，意思一樣。

RSQ

決定係數，就是 PEARSON 的平方，範圍 0 到 1。

語法：=RSQ(y 範圍, x 範圍)

0.9844 的平方是 0.9691。意思是這 8 天裡銷量變化的 96.91% 可以用氣溫的直線關係解釋。

要記得，相關和因果是兩回事。氣溫高跟銷量高一起出現，並不保證是氣溫造成的，也可能同一天剛好有活動。8 筆資料也算少，我會把這個數字當參考。

STEYX

迴歸殘差的標準誤差，也稱殘差標準差的估計，單位跟 y 一樣。這裡的算法是「殘差平方和除以 n − 2，再開根號」，不是把每筆誤差取絕對值後求平均。函式語法依 Google STEYX 說明。

語法：=STEYX(y 範圍, x 範圍)

• 至少要 3 組資料，因為自由度是 n − 2。

先算迴歸線沒解釋掉的部分：1293.875 − 353.875² ÷ 99.875 = 40.0325。除以 n − 2 = 6 得到 6.6721，開根號就是 2.5830。

2.5830 杯描述這 8 筆資料相對迴歸線的殘差尺度，不能說每次預測平均一定差 2.58 杯。迴歸線的斜率是 3.5432、截距是 −43.2553（SLOPE、INTERCEPT，語法見 預測函式整理），28 度的點預測以未捨入係數算為 55.9537 杯。

55.9537 ± 2.5830 不是已建立涵蓋率的預測區間。 要預測新的一天，區間還要納入模型估計與新觀測的不確定性、樣本數、目標溫度位置及選定的信心水準；常見線性迴歸區間也有獨立誤差、變異數與分布等假設。NIST 的預測區間說明有區分點預測與這些不確定性。本篇只示範函式，不以 8 天樣本宣稱備貨把握，也未做樣本外回測。

共變數

共變數是兩組數字「一起變動」的大小，離差乘積和除以筆數。它的單位是 x 的單位乘 y 的單位（這裡是「度 × 杯」），數字大小沒辦法直接比較，所以大家比較常看除過標準差之後的相關係數。不過 PEARSON 的分子其實就是它。

COVARIANCE.P

母體共變數，離差乘積和除以 n。

語法：=COVARIANCE.P(y 範圍, x 範圍)

353.875 ÷ 8 = 44.2344。

COVAR

COVARIANCE.P 的舊名稱，結果相同，也是除以 n。

語法：=COVAR(y 範圍, x 範圍)

結果是 44.2344。這點要注意，COVAR 對應的是母體版，不是樣本版。看到舊公式裡的 COVAR，要當母體共變數讀。

COVARIANCE.S

樣本共變數，離差乘積和除以 n − 1。

語法：=COVARIANCE.S(y 範圍, x 範圍)

353.875 ÷ 7 = 50.5536。

共變數和相關係數的關係，可以用標準差驗證：樣本共變數除以兩個樣本標準差的乘積，就是相關係數。氣溫的樣本標準差是 3.7773，銷量是 13.5956（STDEV.S 的結果），所以 50.5536 ÷ (3.7773 × 13.5956) = 0.9844，跟 PEARSON 的結果一致。

試著把自己的資料貼進來，用 RSQ 看看關係有多強吧。