計次的機率：BINOM.DIST、POISSON.DIST、HYPGEOM.DIST 與 PROB 怎麼選

今天來整理一組「數次數」的機率函式：BINOM.DIST、POISSON.DIST、HYPGEOM.DIST、NEGBINOM.DIST，加上 BINOM.INV 和 PROB，還有它們的舊名。

坦白說，我工作上最常碰到的問題都長這樣：「20 位客人裡面，有 10 位以上加購甜點的機會有多大？」「這個時段一小時進來 20 位以上算不算怪？」「一箱 50 個杯子有 8 個瑕疵，抽 10 個抽到 2 個壞的機率是多少？」這些問題的共通點是結果是整數（幾位、幾個），所以用的是離散分布。連續數值（身高、金額）的常態分布在 常態分布 那篇，這篇不重複。

怎麼選

先問自己：事情是怎麼發生的？

舊名 BINOMDIST、CRITBINOM、NEGBINOMDIST、HYPGEOMDIST、POISSON 各有一節，放在對應的新名後面。

下面每個公式都用自己的數字，不需要範例資料，除了 NEGBINOM.DIST 的逐項加總與最後的 PROB 要一張小表。

二項分布

BINOM.DIST

固定 n 次試驗、每次成功機率都是 p，恰好成功 k 次（或最多 k 次）的機率。

語法：=BINOM.DIST(成功次數, 試驗次數, 成功機率, 累積)

• 累積：FALSE 是恰好 k 次，TRUE 是 k 次以內（含）。

假設一天有 20 位客人結帳，每位有 30% 的機會加購甜點（這是假設的比例）。恰好 6 位加購：

結果是 0.1916。手算：C(20,6) = 38760，0.3 的 6 次方是 0.000729，0.7 的 14 次方是 0.006783，三個相乘得到 0.1916。

最多 6 位：

結果是 0.6080。20 位客人期望 6 位加購（20 × 0.3），所以 6 位剛好差不多是中位數。

「10 位以上」要反過來算，因為累積機率只給「以內」：

結果是 0.0480，大約每 20 天會遇到 1 天。常犯的錯是寫成 1 - BINOM.DIST(10, ...)，那樣算出來的是「11 位以上」。

注意：這個模型假設每位客人彼此獨立，而且機率都一樣。如果是情侶一起來、一起決定加購，獨立的假設就不成立，這時極端結果（很多人一起加購，或幾乎沒人加購）的機率會被這個模型低估。

BINOMDIST

BINOM.DIST 的舊名，參數一樣。

語法：=BINOMDIST(成功次數, 試驗次數, 成功機率, 累積)

結果同樣是 0.1916。

BINOM.INV

反過來問：累積機率至少要到 target，最少要幾次成功。拿來備貨很直覺。

語法：=BINOM.INV(試驗次數, 成功機率, 目標機率)

甜點每天最多備幾份，才有 95% 的把握夠賣？

結果是 9。查上面的累積機率：9 份以內是 0.9520（已經超過 0.95），8 份以內是 0.8867（還不到）。所以 9 份是第一個夠的。

這個函式回傳的是「累積機率大於或等於目標」的最小整數，不是四捨五入或內插。目標改成 0.5，=BINOM.INV(20, 0.3, 0.5) 是 6，跟上面的中位數一致。

CRITBINOM

BINOM.INV 的舊名，參數一樣。

語法：=CRITBINOM(試驗次數, 成功機率, 目標機率)

結果是 9。

負二項分布

NEGBINOM.DIST

試到第 r 次成功為止，期間恰好失敗 f 次的機率。

語法：=NEGBINOM.DIST(失敗次數, 成功次數, 成功機率, [累積])

Google 的函式說明只列「失敗次數、成功次數、成功機率」三個引數，沒有累積；實測第四個引數可以給，省略等於 FALSE。Excel 的 NEGBINOM.DIST 則要求四個引數都寫，cumulative 必填，貼到 Excel 時要補上 FALSE 或 TRUE。

試吃攤位每位路人願意買的機率是 25%（假設值）。想知道賣出第 3 份之前，剛好有 5 個人拒絕的機率：

結果是 0.0779。手算：最後一個人一定是買的，前面 7 個人（5 個拒絕、2 個買）有 C(7,2) = 21 種排法，機率是 21 × 0.25 的 3 次方 × 0.75 的 5 次方 = 0.0779。

第四參數省略或 FALSE 算「恰好」，TRUE 算「以內」。例如 NEGBINOM.DIST(3,2,0.5) 與第四參數 FALSE 都是 0.125，TRUE 為 0.8125。舊名 NEGBINOMDIST 多給第四參數則回 #N/A，兩者不能混用簽章。下面保留逐項加總的寫法，讓累積機率的意思看得見：A2:A7 放 0 到 5，B2 往下填公式，再加總：

結果是 0.3215。這代表有三成多的機會，不用被拒絕超過 5 次就能賣出第 3 份。

NEGBINOMDIST

NEGBINOM.DIST 的舊名，參數一樣。

語法：=NEGBINOMDIST(失敗次數, 成功次數, 成功機率)

結果是 0.0779。

超幾何分布

HYPGEOM.DIST

不放回抽樣：母體裡有 K 個目標，抽 n 個，恰好抽到 k 個目標的機率。

語法：=HYPGEOM.DIST(抽到的目標數, 抽出數量, 母體中的目標數, 母體大小, [累積])。第五參數省略為 FALSE。

Google 的函式說明只列成功次數、抽出次數、母體中的成功次數、母體大小四個引數，沒有累積，但實測第五個引數可以給。Excel 的 HYPGEOM.DIST 要求五個引數都寫，cumulative 必填，貼到 Excel 時要補上 FALSE 或 TRUE。

一箱 50 個杯子裡有 8 個瑕疵（假設）。隨機抽 10 個檢查，剛好抽到 2 個瑕疵：

結果是 0.3217。手算：C(8,2) × C(42,8) ÷ C(50,10) = 28 × 118,030,185 ÷ 10,272,278,170 = 0.3217。

「抽 10 個至少抽到 1 個瑕疵」，也就是驗得出來的機率：

結果是 0.8568。

跟二項分布的差別是抽了不放回。如果硬用 BINOM.DIST(2, 10, 8/50, FALSE)，結果是 0.2856，跟 0.3217 差了約 3.6 個百分點。母體比抽樣數大很多（例如幾萬個抽 10 個）時兩者就會很接近，母體小就要用超幾何。

第五個累積參數省略或 FALSE 為恰好機率，TRUE 為以下累積。HYPGEOM.DIST(1,4,3,10) 與第五參數 FALSE 都為 0.5，TRUE 為 0.6666666667。舊名 HYPGEOMDIST 多給第五參數回 #N/A。

HYPGEOMDIST

HYPGEOM.DIST 的舊名，只接受四個參數，對應恰好機率；不要把新名支援的第五個累積參數直接搬過來。

語法：=HYPGEOMDIST(抽到的目標數, 抽出數量, 母體中的目標數, 母體大小)

結果是 0.3217。

卜瓦松分布

POISSON.DIST

一段固定時間或空間裡，事件發生 k 次的機率，只需要平均發生次數。

語法：=POISSON.DIST(次數, 平均, 累積)

假設平日中午一小時平均進來 12 位客人。剛好 15 位：

結果是 0.0724。15 位以內（含）：

結果是 0.8444。那 20 位以上算不算怪？

結果是 0.0213，大約 2%，也就是平均每 47 個中午的小時會遇到一次。要是人手只備到能應付 19 位以內，不夠的時間大概就是這 2%。

手算 15 位那個：12 的 15 次方 ÷ 15! × e 的 −12 次方 = 0.0724。

使用時有一個前提：事件要彼此獨立、平均速率要固定。午休的人潮在 12:00 前後和 13:30 差很多，如果把整個中午當成同一個平均值，算出來的尾巴機率會偏低。要拆成幾個時段各算各的。

第三個參數必填：FALSE 算恰好發生指定次數，TRUE 算以下的累積機率。省略第三參數實測回 #N/A，Excel 的 POISSON.DIST 同樣要求三個引數都寫；POISSON.DIST(2,3,FALSE) 為 0.2240418077，改 TRUE 為 0.4231900811。

POISSON

POISSON.DIST 的舊名，累積參數在舊名裡是必填。

語法：=POISSON(次數, 平均, 累積)

結果是 0.8444。

PROB

不屬於上面任何一個分布：結果和機率自己列在表上，問某個範圍的機率有多大。

語法：=PROB(數值範圍, 機率範圍, 下限, [上限])

• 上限省略時，只算剛好等於下限的機率。
• 機率範圍加起來要等於 1。

以每天客訴件數為例（機率是假設的）：

這張表從 A2 放到 B6（A1、B1 放標題）。

結果是 0.45，就是 0.30 + 0.15。

結果是 0.15。

PROB 沒有現成的「期望值」，但可以用 SUMPRODUCT 補：

結果是 1.1。手算 0×0.4 + 1×0.3 + 2×0.15 + 3×0.1 + 4×0.05 = 1.1。

五個問題的對照

函式只負責把「假設的分布」換成機率，機率值有沒有意義，要看那個 30%、每小時 12 位是不是真的有資料撐著。拿最近一兩個月的實際數字回頭驗一下，比算到小數點後第四位重要。要判斷「實際數字和預期差多少算不尋常」，下一步是 卡方檢定。