做了一份問卷，200 位客人，分成三個年齡層，問他們比較喜歡奶茶還是果茶。交叉表出來，20 多歲偏果茶、30 多歲偏奶茶，看起來有關係，但到底是真的有關，還是剛好這 200 人抽出來長這樣？今天來看專門回答這個問題的卡方檢定：CHISQ.TEST，以及它背後的 CHISQ.DIST、CHISQ.INV 一整組。
坦白說，我工作上絕大多數時候只用 CHISQ.TEST，其他函式是想弄清楚它怎麼算的時候才翻出來。這篇的重點也是這個：先用 CHISQ.TEST 得到答案，再用其他函式拆開來看。
範例資料
A 欄是年齡層，B、C 欄是各年齡層選奶茶與果茶的人數（觀察值）：
| 年齡層 | 奶茶 | 果茶 |
|---|---|---|
| 20 多歲 | 22 | 38 |
| 30 多歲 | 36 | 24 |
| 40 歲以上 | 42 | 38 |
貼到 A1:C4。卡方檢定的邏輯是：如果年齡和口味完全沒關係，每格「應該」有多少人？這叫預期值，算法是 該列總數 × 該欄總數 ÷ 全部人數。E2 這樣寫，往右填到 F2、再往下填到 F4：
E2：預期值（E2:F4 都用這條，往右往下填）
=SUM($B2:$C2)*SUM(B$2:B$4)/SUM($B$2:$C$4)奶茶總共 100 人、果茶 100 人，各年齡層人數是 60、60、80，所以預期值是：
| 年齡層 | 預期奶茶 | 預期果茶 |
|---|---|---|
| 20 多歲 | 30 | 30 |
| 30 多歲 | 30 | 30 |
| 40 歲以上 | 40 | 40 |
然後把每一格的差距平方，除以預期值，加起來，就是卡方統計量。J2 這樣寫：
J2：卡方統計量
=SUMPRODUCT((B2:C4-E2:F4)^2/E2:F4)手算：(22−30)²÷30 = 2.1333、(38−30)²÷30 = 2.1333、(36−30)²÷30 = 1.2、(24−30)²÷30 = 1.2、(42−40)²÷40 = 0.1、(38−40)²÷40 = 0.1，加起來 6.8667。自由度是（列數 − 1）×（欄數 − 1）= 2 × 1 = 2，放在 J3：
J3：自由度
=(ROWS(B2:C4)-1)*(COLUMNS(B2:C4)-1)下面所有函式都是在處理這個 6.8667 和自由度 2。
怎麼選
| 想做的事 | 用這個 | 備註 |
|---|---|---|
| 直接比觀察與預期，要 p 值 | CHISQ.TEST | 不用先算統計量 |
| 已有卡方值，要 p 值 | CHISQ.DIST.RT | 檢定看右尾 |
| 要左尾或畫曲線 | CHISQ.DIST | 第三個參數選 TRUE 或 FALSE |
| 給顯著水準，找門檻 | CHISQ.INV.RT | 卡方值超過就顯著 |
| 給左尾機率，反推 | CHISQ.INV | 比較少用 |
舊名 CHITEST、CHIDIST、CHIINV 各有一節。
CHISQ.TEST
比較觀察值與預期值，直接回傳 p 值。
語法：
兩個範圍的大小要一樣。預期值要自己算好放在另一個範圍，函式不會幫你算。
年齡層和口味偏好有沒有關係
=CHISQ.TEST(B2:C4, E2:F4)結果是 0.0323。p 值比常用的門檻 0.05 小，所以在 5% 的標準下，年齡層和口味偏好看起來不是毫無關係，這 200 人的差異不太像單純的巧合。但 0.0323 也沒有小到很有把握，樣本再多一些會比較穩。
要注意兩點：
- 觀察值要是次數（人數），不能是百分比。
- 預期值太小的時候不準，一般的經驗是每格預期值至少要 5 左右。這份資料最小是 30，沒問題。
這個檢定只說「有關」，不說「怎麼有關」。要知道是哪個年齡層貢獻最大，看每格 (觀察 − 預期)² ÷ 預期：20 多歲兩格各 2.1333、30 多歲各 1.2、40 歲以上各 0.1，所以主要的差異來自 20 多歲和 30 多歲，40 歲以上跟預期幾乎一樣。
CHITEST
CHISQ.TEST 的舊名，參數一樣。
語法：
舊名寫法
=CHITEST(B2:C4, E2:F4)結果同樣是 0.0323。
只有一列或一欄資料的時候，也可以用這個函式做「適合度」檢定：例如一週七天的來客數是不是平均分布。把 7 個觀察值放一欄、7 個預期值（總數 ÷ 7）放另一欄就能用。這時自由度是 n − 1，也就是 7 − 1 = 6，和 Excel 的算法一致；想對照的話，可以用 CHISQ.DIST.RT(統計量, 6) 算一次，結果會和 CHISQ.TEST 相同。
CHISQ.DIST.RT
卡方分布的右尾機率：卡方值大於 x 的面積。檢定看的就是這一邊。
語法：
用統計量與自由度算 p 值
=CHISQ.DIST.RT(J2, J3)結果是 0.0323，跟 CHISQ.TEST 一樣。這就是 CHISQ.TEST 在做的事：先算統計量，再查右尾。
為什麼是右尾？卡方值是差距平方加總，永遠不會是負的，越大代表觀察與預期差越多，所以「差距這麼大算不算稀奇」只看右邊。
CHIDIST
CHISQ.DIST.RT 的舊名，參數一樣。
語法：
舊名寫法
=CHIDIST(J2, J3)結果是 0.0323。
CHISQ.DIST
左尾累積機率，或曲線的高度。
語法：
- 累積：TRUE 是卡方值小於等於 x 的機率，FALSE 是機率密度。
左尾累積機率
=CHISQ.DIST(J2, J3, TRUE)結果是 0.9677，加上右尾 0.0323 剛好是 1。
密度的例子：自由度 4、x = 3， 是 0.1673，只是曲線上的高度，不是機率； 是 0.4422。
CHISQ.INV.RT
給右尾機率，反推卡方臨界值。
語法：
顯著水準 5%、自由度 2 的門檻
=CHISQ.INV.RT(0.05, 2)結果是 5.9915，跟課本卡方表自由度 2、0.05 那格一樣。意思是：卡方值超過 5.9915，p 值就會小於 0.05。這份資料的 6.8667 超過了，結論和 p = 0.0323 一致。
要更嚴格的 1% 標準， 是 9.2103，6.8667 沒超過，所以在 1% 的標準下不顯著。同一份資料，用的標準不同，結論就不一樣，這也是為什麼我習慣把 p 值直接寫出來，不只寫「顯著」兩個字。
CHIINV
CHISQ.INV.RT 的舊名，參數一樣。
語法：
舊名寫法
=CHIINV(0.05, 2)結果是 5.9915。
CHISQ.INV
給左尾機率，反推卡方值。
語法：
左尾 95% 對應的卡方值
=CHISQ.INV(0.95, 2)結果是 5.9915，因為左尾 95% 和右尾 5% 是同一個位置，所以 CHISQ.INV(0.95, 2) 和 CHISQ.INV.RT(0.05, 2) 的答案相同。
這個函式用的機會比較少。需要的時候記得：INV.RT 的機率是「超過的面積」，INV 的機率是「不到的面積」，兩個機率加起來是 1。
回到問卷
p 值小只代表「應該不是巧合」，不代表年齡層「造成」口味不同，也沒說差距有多大。這份問卷的下一步我會做的是回去看那幾格的差距，想想 20 多歲偏果茶有沒有別的解釋（例如那批人多半在假日來）。要檢定的是兩組的離散程度，換成 F 檢定；離散的計次機率在 二項與卜瓦松。
接下來可以
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